12月22日 8:05发布
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(图: ITmedia NEWS )
6月，一篇论文在arXiv (物理学和数学等论文预打印服务器)上公开。 标题为“A Family of Non-Periodic Tilings，describ able using elementary tools and exhibiting a new kind of structural regularity”。 作者Miki Imura (以下简称Imura )不是学术机构的研究者，而是普通的公司职员。【看图片】当时热门的打字模式(引自《普通公司职员发现了新图形，所以在匈牙利博士后的帮助下向arXiv投稿了论文的故事》)【共8张】Imura先生因兴趣而享受着使用编程生成平铺模式的乐趣。 据说Facebook上有一个名为“mathematical tiling and tessellation”(数学平铺和平面填充)的拥有12万多人成员的专业社区，在那里发布了自己的图案。 在这种情况下，5月末发布的某个模式在社区成为了话题。 收集了6700条以上的反应和400条以上的评论，在Reddit (海外大规模公告栏网站)的数学板“r/math”上也名列前茅的状况持续了近一个月。 在有希望解说这种平铺模式的数学背景的评论中，Imura先生想以认真的形式保留自己的发现，决定向arXiv投稿。 在匈牙利从事博士后研究的数学家的协助下，利用带薪假期，用了约5天的时间写完了论文。
什么是数学平铺在进入论文内容之前，先简单说明一下“数学平铺”这个领域。 我们身边有铺瓷砖的地板和墙壁。 正方形的瓷砖排列成格子状，正六角形像蜂窝一样配置，这些都是无间隙地、不重叠地铺在平面上的行为的例子。 数学平铺是指从数学上研究这个铺垫的领域。 平铺大致分为“周期性”和“非周期性”。 正方形和正六角形的铺设是周期性的，即使将图案整体向一定方向偏移，也与原来完全重叠。 另一方面，非周期性的平铺无论如何偏移，都与原模式不完全一致。 非周期性平铺的代表例有20世纪70年代英国数学家罗杰·彭罗斯设计的“彭罗斯瓷砖”。 通过组合两种菱形，可以无限地产生绝对不重复的模式。
爱因斯坦问题的解决平铺研究中多年来的悬案是“爱因斯坦问题”。 这与物理学家爱因斯坦无关，是来源于德语“ein stein”(一块石头=瓷砖)的名称。 问题的内容是:“是否存在仅用一种图形铺设平面，且无论如何铺设都一定会成为非周期性的图形(非周期单瓷砖)？ ”之类的东西。 由于彭罗斯瓷砖需要两种图形，所以能否用一种来实现还没有解决。 2023年3月，在这个问题上取得了重大进展。 发现了具有13条边的多边形“Hat”，表明只用一种图形就可以进行非周期性的平铺。 但是，Hat也需要使用图形的反转(镜像)。 同年6月，又发现了不使用翻转而实现非周期平铺的“Spectre”，爱因斯坦问题得到了完全解决。 这作为载入数学史的大发现被全世界报道了。
发现的“Modulo Krinkle tiling”的结构那么，Imura发现的“Modulo Krinkle tiling”是什么呢？ 按顺序说明吧。 第一步:用“余数串”画折线。这个平铺的出发点是使用“除法的余数”。 例如，按顺序计算一下“3的倍数除以7得到的馀数”。 除以3×0=0 → 7的余数除以0 3×1=3 → 7的余数除以3 3×2=6 → 7的余数除以6 3×3=9 → 7的余数除以2 3×4=12 → 7的余数除以5 3×5=15 → 7的余数 0~6的数字正好一次一次，以零散的顺序出现很有趣。 此外，为了替换数字(在步骤2中说明)，在数字串的末尾加上7，准备数字串“0、3、6、2、5、1、4、7”。 然后，在圆周上等间隔地设定方向(像钟表的表盘一样)。 然后，将数列的各个数字解释为“接下来向哪个方向走一步”的指示，画出折线。 “0”的话向0号的方向，“3”的话向3号的方向。 这样形成的折线，像是规则的，变成了不规则的，独特的锯齿图案。 步骤2 :根据折线制作“基本瓷砖”的步骤1的数列(“0，3，6，2，5，1，4，7”)的第一个和最后一个数字(在本例中为0，7 )调换后的数列(“7，3，庄闲和app6，2，5，5”) 从这两个数列，在同一个出发点画两条折线，都可以到达同一个终点。 被两条折线包围的区域成为该平铺的“基本平铺”。 是像闪电一样左右不对称的细长多边形。 步骤3 :用基本瓷砖填充“扇形区域”的该基本瓷砖，不改变方向有规则地排列，可以无间隙地铺设从中心扩展的扇形区域。 重要的是，在这个扇形中，瓷砖的排列方式遵循规则的模式。 第四步:组合扇形填满整个平面，最后，一边绕中心一点点转动这个扇形，一边多张并排。 此时，扇形的锯齿边界线在相邻的扇形之间紧密啮合。 这样整个平面就被填满了，但是纵观完成的图案，整体上没有任何重复相同的配置。 也就是说，变成了非周期性的图案。 这个结构的有趣之处在于，只要改变最初选择的两个数字(上面的例子中为3和7 )，就会产生完全不同的图案。 如果选择( 3，7 )，则可以制作出闪电一样的图案，如果选择( 2，5 )，则可以制作出其他图案，如果选择( 7，17 )，则可以制作出更加复杂的图案，根据组合的数量不同而不同的图案。 另外，通过调整“折线弯曲的角度的粗细”，可以从相同的数字组合中制作出不同形状的瓷砖。
和2023年的大发现是两回事，但是身边很好在此，为了避免误解，希望说明的是，Modulo Krinkle tiling与2023年发现的“Hat”和“Spectre”的性质不同。 Hat和Spectre是一种特殊的图形，如果使用其形状的话，无论怎么努力都只能非周期性地铺设。 另一方面，Modulo Krinkle tiling的基本瓷砖在扇形中周期性排列。 也就是说，如果想做的话，也可以制作周期性的图案。 Modulo Krinkle tiling并没有解决多年来的未解决问题。 但是，根据“除法的馀数”这一身边的计算，表明可以产生无数从未有人见过的美丽图案。 据说论文的作者Imura今后也会继续在数学和艺术的边界领域活动。 项目页面也已经启动，在那里进行操作参数实时生成Modulo Krinkle tiling的演示，以及使用瓷砖图案的商品的销售。 另外，据说也考虑参加国际会议。 出于兴趣开始的几何学图形的探索，引起了全世界人们的关注，作为论文形成了。 这个过程告诉我们数学绝不仅仅是专家的事。 只要怀着好奇心继续思考，任何人都有可能发现新的发现。 Modulo Krinkle tiling可以说是让人感受到这样的希望的发现吧。 ※Innovative Tech :在这个环节，由主持从2014年开始以论文为单位报道尖端技术研究的网络媒体“Seamless”(无缝)的山下裕毅先生执笔。 山下先生挑选并解说新颖性高的科学论文。 X: @shiropen2
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